Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 + y2 + z2 + xyz = 20
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
0
NT
1
PT
1
CM
16 tháng 2 2017
Ta có: x 3 + y 3 = ( x + y ) 2 < = > ( x + y ) ( x 2 − x y + y 2 − x − y ) = 0
Vì x, y nguyên dương nên x+y > 0, ta có: x 2 − x y + y 2 − x − y = 0
⇔ 2 ( x 2 − x y + y 2 − x − y ) = 0 ⇔ x - y 2 + x - 1 2 + ( y - 1 ) 2 = 2
Vì x, y nguyên nên có 3 trường hợp:
+ Trường hợp 1: x − y = 0 x - 1 2 = 1 ⇔ x = y = 2 , z = 4 y - 1 2 = 1
+ Trường hợp 2: x − 1 = 0 x - y 2 = 1 ⇔ x = 1 , y = 2 , z = 3 y - 1 2 = 1
+ Trường hợp 3: y − 1 = 0 x - y 2 = 1 x - 1 2 = 1 ⇔ x = 2 , y = 1 , z = 3
Vậy hệ có 3 nghiệm (1,2,3);(2,1,3);(2,2,4)
T
2
24 tháng 5 2017
Ta gọi phương trinh của x+Y=Z = XYZ LÀ (2) .Do vai trò bình đẳng của x,y,z trong phương trình, trước hết ta xét x bé hơn hoặc = y < hoặc = z
VÌ x,y,z nguyên dương nên xyz khác 0 , do x , hoặc = y ,học = z => xyz= x+y+z < hoặc = 3z => xy <3 => x thuộc {1;2;3}
Nếu xy=1 => x=y=1 . Thay vào (2) ta có : 2+z =z ( vô lý)
nẾU XY=2 , Do x < hoặc = y nên x=1,y=2 . tHAY VÀO (2) ta có ; z=3
NÊú xy =3 , do x , hoặc = y nên x=1, y=3. Thay vào (2) ta có , z=2
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1;2;3)
TK MK NHA!!
NV
1
PT
3
ND
2
LH
5 tháng 4 2016
Ta biện luận theo z nguyên dương
* Nếu z>=3
=> x+y+1\(\ge\)3xy nên x+y+1 -3xy\(\ge\)0 => x(1-y) +(y(1-x)+(1-xy)\(\ge\)0 (1)
Do x, y nguyên dương ta có x,y\(\ge\)1
=> 1-y\(\le\)0 và 1-x\(\le\)0 và 1-xy\(\le\)0
=> x(1-y) +(y(1-x)+(1-xy)\(\le\)0 (2)
Từ (1) và (2) => Tổng bằng 0 khi:
{x(1-y)=0
{y(1-x)=0
{(1-xy)=0
=> x=1, y=1
Vậy nghiệm là (1;1;3)
** Nếu z=2
=> x+y+1=2xy
=> x(y-1) + y(x-1)=1
Tổng 2 số nguyên không âm bằng 1 chỉ là một trong 2 cặp 0,1 hoặc 1,0 nên :v
{(x(y-1)=0
{ y(x-1)=1 => x=2, y=1
hoặc
{(x(y-1)=1
{ y(x-1)=0 => x=1, y=2
Vậy có 2 cặp nghiệm là (2;1;2) và (1;2;2)
*Nếu z=1
=> x+y+1=xy
=> (x-1)(y-1)=2
=> {x-1=1
{y-1=2 => x=2, y=3
Hoặc
{x-1=2
{y-1=1 => x=3, y=2
Vậy có 2 cặp nghiệm (2,3,1) và (3;2;1)
10 tháng 4 2016
bạn học đến nghiệm rồi à???? mk mới học đến cộng trừ đa thức
\(ĐK:\) \(x,y,z\in Z^+\)
Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(1\le x\le y\le z\) nên từ pt đã cho suy ra
\(20\ge3x^2+x^3\ge3+x^3\)
\(\Rightarrow\) \(x^3\le17\) hay nói cách khác \(x\le2\) nên kết hợp với điều kiện ở trên suy ra \(x\in\left\{1;2\right\}\)
Ta xét các trường hợp sau đây:
\(\Omega_1:\)
Bạn xét các trường hợp và đưa ra nghiệm chính xác là \(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,2\right)\)